新規更新September 06, 2018 at 01:44PM
【外部リンク】
Теорема Грушко о разложении
Tosha: Создано переводом страницы «Grushko theorem»
'''Теорема Грушко о разложении''' утверждает, что наименьшее [[Мощность множества|количество элементов]] в [[Порождающее множество группы|генераторной установке]] на [[Свободное произведение|бесплатный продукт]] двух групп равен сумме рангов двух факторов. Теорема была получена в 1940 статье Грушко<ref>I. A. Grushko, ''On the bases of a free product of groups'', Matematicheskii Sbornik, vol 8 (1940), pp. 169–182.</ref> и независимо, в 1943 статье Неймана.<ref>B. H. Neumann. ''On the number of generators of a free product.'' Journal of the London Mathematical Society, vol 18, (1943), pp. 12–20.</ref>
== Утверждение теоремы ==
Пусть ''А'' И ''Б'' быть конечно порожденных групп и пусть ''В''∗''Б'' быть [[Свободное произведение|бесплатный продукт]] от ''А'' И ''Б''. Тогда
: ранг(''А''∗''Б'') = ранг(''а'') + ранг(''Б'').
Очевидно, что ранг(''А''∗''Б'') ≤ ранг(''а'') + ранг(''б''), так как если x является конечным [[Порождающее множество группы|порождающим множеством]] для ''А'' И ''Г'' является конечным генерации набора ''Б'' , то ''х''∪''Г'' - это порождающее множество для ''В''∗''Б'' И что |''х''∪''у''|≤|''х''| + |''у''|. Обратное неравенство, ранг(''В''∗''Б'') ≥ ранг(''а'') + ранг(''Б''), требует доказательства.
Грушко, но не Нейман, доказали более точной версией Грушко теоремы с точки зрения Нильсена эквивалентности. В нем говорится, что если ''М'' = (''Г''<sub>1</sub>, ''г''<sub>2</sub>, ..., ''г''<sub>''п''</sub>) является ''п''-кортеж элементов ''Г'' = ''А''∗''Б'' такая, что ''М'' создает ''Г'', <''Г''<sub>1</sub>, ''г''<sub>2</sub>, ..., ''Г''<sub>''П''</sub>> = ''Г'', тогда ''М'' является Нилсен Эквивалент в ''г'' К ''П''-кортежем вида
: ''М''' = (''А''<sub>1</sub>, ..., ''а''<sub>''к''</sub>, ''Б''<sub>1</sub>, ..., ''Б''<sub>''Н''−''К''</sub>), где {''А''<sub>1</sub>, ..., ''А''<sub>''К''</sub>}⊆''А'' это порождающее множество для ''себя'' и, где {''б''<sub>1</sub>, ..., ''б''<sub>''п''−''к''</sub>}⊆''Б'' является генераторной установки для ''Б''. В частности, звание(''а'') ≤ ''к'', ранг(''Б'') ≤ ''Н'' − ''К'' и ранг(''а'') + ранг(''Б'') ≤ ''К'' + (''П'' − ''К'') = ''Н''. Если ''М'' будет минимальный генерации кортежей для ''Г'', то есть С ''Н'' = ранг(''г''), Это означает, что ранг(''а'') + ранг(''Б'') ≤ ранг(''г''). Так как противоположное неравенство, ранг(''г'') ≤ ранг(''а'') + ранг(''Б''), очевидно, следует, что ранг(''г'')=ранг(''а'') + ранг(''Б''), по мере необходимости.
== История и обобщения ==
После первоначального доказательства Грушко (1940) и Неймана(1943), было много последующих альтернативных доказательств, упрощений и обобщений теоремы Грушко. Тесная версия Грушко Оригинальное доказательство дано в 1955 книгу [[Курош, Александр Геннадиевич|Курош]].<ref />
Как и в оригинальной доказательства, Линдон доказательство (1965)<ref /> опирается на длина-функций соображений, но со значительными упрощениями. В 1965 бумаги Сталлингс
<ref /> дал очень упрощенный топологическое доказательство теоремы Грушко.
В 1970 бумаги Zieschang<ref /> дал Нильсен эквивалентности версия Грушко теорема (указано выше) и при условии некоторых обобщениях теоремы Грушко для [[Свободное произведение|объединенного бесплатные продукты]]. Скотт (1974) дал еще одно топологическое доказательство теоремы Грушко, вдохновленные методы 3-коллектор топологии<ref /> Имрих (1984)<ref /> дал версию Грушко теоремы для бесплатных продуктов с бесконечно многими факторами.
В 1976 бумаги Chiswellбыл<ref /> дал относительно простым доказательством теоремы Грушко, по образцу Сталлингс' 1965 доказательства, что используемые методики Басса-Серра теории. Аргумент непосредственно вдохновил Механизм ''складывания'' для действия групп на деревья и графы групп и Дикс еще более простым доказательством теоремы Грушко (см., например,
<ref /><ref /><ref />).
Грушко теорема, в некотором смысле, отправной точкой в Данвуди, теория ''доступность'' для конечно порожденных и [[Задание группы|конечно представимой группы]]. Поскольку ряды свободных факторов меньше, чем ранг бесплатный продукт, Грушко теорема подразумевает, что процесс повторного расщепления-конечно порожденная группа ''G в'' качестве бесплатного продукта должна завершаться за конечное число шагов (точнее, в большинстве рейтингов(''г'') шагов). Возникает естественный вопрос похож на переборе колкам, конечно порожденных групп над конечными подгруппами. Данвуди доказали, что такой процесс должен всегда прекращается, если группа ''г'' является [[Задание группы|конечно представимой]]<ref /> , но может продолжаться вечно, если ''г'' является конечно порожденной финитно, но не представил.<ref />
Алгебраическое доказательство существенное обобщение теоремы Грушко, используя технику [[Группоид (теория категорий)|группоидов]] было дано Хиггинс (1966).<ref /> Хиггинса теоремы начинается с группы ''Г'' И ''Б'' с бесплатными разложения ''Г'' = ∗<sub>''Я''</sub> ''Г''<sub>''Я''</sub>, ''б'' = ∗<sub>''я''</sub> ''б''<sub>''я''</sub> И ''Ф''<span> </span>: ''Г'' → ''Б'' морфизм такой, что ''Ф''(''Г<sub>, Я</sub>'') = ''б<sub>я</sub>'' за всех ''я''. Пусть ''Н'' - Подгруппа ''в G'' такая, что ''Ф''(''Ч'') = ''Б''. Затем ''ч'' и разложение ''Н'' = ∗<sub>''Я''</sub> ''ч''<sub>''я''</sub> такой, что ''Ф''(''Х''<sub>'', я''</sub>) = ''б''<sub>''я''</sub> за всех ''я''. Полная информация о доказательство и приложения также могут быть найдены в
.<ref /><ref />
== Теорема разложения грушко ==
Полезный следствие изначальной Грушко теорема является так называемая '''теорема Грушко разложения. ''' Он утверждает, что любая нетривиальная конечно порожденная группа ''г'' может быть разложена как [[Свободное произведение|бесплатный продукт]]
: ''G'' = ''A''<sub>1</sub>∗''A''<sub>2</sub>∗...∗''A''<sub>''r''</sub>∗''F''<sub>''s''</sub>, where ''s'' ≥ 0, ''r'' ≥ 0,
где каждая из групп ''а''<sub>''я''</sub> не так тривиально, свободно нераз (то есть, он не может быть разложена в качестве бесплатного продукта), а не бесконечной циклической, и где ''Ф<sub>ы</sub>'' - это [[свободная группа]] ранга ''с'';
кроме того, для данного ''г'', группы ''В''<sub>1</sub>, ..., ''В''<sub>''р''</sub> уникальны до перестановки их [[Класс сопряжённости|сопряженности классов]] в ''г'' (и, в частности, последовательность [[Изоморфизм групп|изоморфизм]] типы из этих групп уникальна до перестановки), а числа ''С'' И ''Р'' являются уникальными, а также.
Точнее, если ''Г'' = ''Б''<sub>1</sub>∗...∗''Б''<sub>''к''</sub>∗''ф''<sub>''т''</sub> другой такой разложение, то ''К'' = ''Р'', ''С'' = ''Т'', и существует перестановка σ∈''S и''<sub>''р''</sub> , таких, что для каждого ''я''=1,...,''р'' подгрупп ''а''<sub>''я''</sub> и ''Б''<sub>σ(''я'')</sub> являются [[Класс сопряжённости|сопряженными]] в ''г''.
Существование указанного выше разложения, назвал '''Грушко разложения''' В ''Г'', это прямое следствие исходной теоремы Грушко, в то время как уникальность утверждение требует дополнительных аргументов (см., например<ref />).
Алгоритмически вычислительной разложение Грушко для конкретных классов групп является сложной проблемой, которая требует в первую очередь будучи в состоянии определить, является ли данная группа является свободно разложимых. Положительные результаты были доступны для некоторых классов групп, таких, как перекрут-свободное [[Гиперболическая группа|слово-гиперболических групп]], отдельных классов относительно гиперболических групп,<ref /> основных групп конечных графов конечно порожденных свободных групп<ref /> и другие.
Грушко разложения теорема теоретико-групповая аналог Кнесер премьер-теорема разложения для 3-многообразий , который говорит, что закрытая 3-коллектор может быть однозначно разложена как [[Связная сумма|связаны сумма]] неприводимых 3-многообразий.<ref />
== См. также ==
* Теория басса-Серра
* [[Порождающее множество группы|Генерации набора группы]]
== Примечания ==
[[Категория:Геометрическая теория групп]]
[[Категория:Маломерная топология]]
[[Категория:Теоремы теории групп]]
== Утверждение теоремы ==
Пусть ''А'' И ''Б'' быть конечно порожденных групп и пусть ''В''∗''Б'' быть [[Свободное произведение|бесплатный продукт]] от ''А'' И ''Б''. Тогда
: ранг(''А''∗''Б'') = ранг(''а'') + ранг(''Б'').
Очевидно, что ранг(''А''∗''Б'') ≤ ранг(''а'') + ранг(''б''), так как если x является конечным [[Порождающее множество группы|порождающим множеством]] для ''А'' И ''Г'' является конечным генерации набора ''Б'' , то ''х''∪''Г'' - это порождающее множество для ''В''∗''Б'' И что |''х''∪''у''|≤|''х''| + |''у''|. Обратное неравенство, ранг(''В''∗''Б'') ≥ ранг(''а'') + ранг(''Б''), требует доказательства.
Грушко, но не Нейман, доказали более точной версией Грушко теоремы с точки зрения Нильсена эквивалентности. В нем говорится, что если ''М'' = (''Г''<sub>1</sub>, ''г''<sub>2</sub>, ..., ''г''<sub>''п''</sub>) является ''п''-кортеж элементов ''Г'' = ''А''∗''Б'' такая, что ''М'' создает ''Г'', <''Г''<sub>1</sub>, ''г''<sub>2</sub>, ..., ''Г''<sub>''П''</sub>> = ''Г'', тогда ''М'' является Нилсен Эквивалент в ''г'' К ''П''-кортежем вида
: ''М''' = (''А''<sub>1</sub>, ..., ''а''<sub>''к''</sub>, ''Б''<sub>1</sub>, ..., ''Б''<sub>''Н''−''К''</sub>), где {''А''<sub>1</sub>, ..., ''А''<sub>''К''</sub>}⊆''А'' это порождающее множество для ''себя'' и, где {''б''<sub>1</sub>, ..., ''б''<sub>''п''−''к''</sub>}⊆''Б'' является генераторной установки для ''Б''. В частности, звание(''а'') ≤ ''к'', ранг(''Б'') ≤ ''Н'' − ''К'' и ранг(''а'') + ранг(''Б'') ≤ ''К'' + (''П'' − ''К'') = ''Н''. Если ''М'' будет минимальный генерации кортежей для ''Г'', то есть С ''Н'' = ранг(''г''), Это означает, что ранг(''а'') + ранг(''Б'') ≤ ранг(''г''). Так как противоположное неравенство, ранг(''г'') ≤ ранг(''а'') + ранг(''Б''), очевидно, следует, что ранг(''г'')=ранг(''а'') + ранг(''Б''), по мере необходимости.
== История и обобщения ==
После первоначального доказательства Грушко (1940) и Неймана(1943), было много последующих альтернативных доказательств, упрощений и обобщений теоремы Грушко. Тесная версия Грушко Оригинальное доказательство дано в 1955 книгу [[Курош, Александр Геннадиевич|Курош]].<ref />
Как и в оригинальной доказательства, Линдон доказательство (1965)<ref /> опирается на длина-функций соображений, но со значительными упрощениями. В 1965 бумаги Сталлингс
<ref /> дал очень упрощенный топологическое доказательство теоремы Грушко.
В 1970 бумаги Zieschang<ref /> дал Нильсен эквивалентности версия Грушко теорема (указано выше) и при условии некоторых обобщениях теоремы Грушко для [[Свободное произведение|объединенного бесплатные продукты]]. Скотт (1974) дал еще одно топологическое доказательство теоремы Грушко, вдохновленные методы 3-коллектор топологии<ref /> Имрих (1984)<ref /> дал версию Грушко теоремы для бесплатных продуктов с бесконечно многими факторами.
В 1976 бумаги Chiswellбыл<ref /> дал относительно простым доказательством теоремы Грушко, по образцу Сталлингс' 1965 доказательства, что используемые методики Басса-Серра теории. Аргумент непосредственно вдохновил Механизм ''складывания'' для действия групп на деревья и графы групп и Дикс еще более простым доказательством теоремы Грушко (см., например,
<ref /><ref /><ref />).
Грушко теорема, в некотором смысле, отправной точкой в Данвуди, теория ''доступность'' для конечно порожденных и [[Задание группы|конечно представимой группы]]. Поскольку ряды свободных факторов меньше, чем ранг бесплатный продукт, Грушко теорема подразумевает, что процесс повторного расщепления-конечно порожденная группа ''G в'' качестве бесплатного продукта должна завершаться за конечное число шагов (точнее, в большинстве рейтингов(''г'') шагов). Возникает естественный вопрос похож на переборе колкам, конечно порожденных групп над конечными подгруппами. Данвуди доказали, что такой процесс должен всегда прекращается, если группа ''г'' является [[Задание группы|конечно представимой]]<ref /> , но может продолжаться вечно, если ''г'' является конечно порожденной финитно, но не представил.<ref />
Алгебраическое доказательство существенное обобщение теоремы Грушко, используя технику [[Группоид (теория категорий)|группоидов]] было дано Хиггинс (1966).<ref /> Хиггинса теоремы начинается с группы ''Г'' И ''Б'' с бесплатными разложения ''Г'' = ∗<sub>''Я''</sub> ''Г''<sub>''Я''</sub>, ''б'' = ∗<sub>''я''</sub> ''б''<sub>''я''</sub> И ''Ф''<span> </span>: ''Г'' → ''Б'' морфизм такой, что ''Ф''(''Г<sub>, Я</sub>'') = ''б<sub>я</sub>'' за всех ''я''. Пусть ''Н'' - Подгруппа ''в G'' такая, что ''Ф''(''Ч'') = ''Б''. Затем ''ч'' и разложение ''Н'' = ∗<sub>''Я''</sub> ''ч''<sub>''я''</sub> такой, что ''Ф''(''Х''<sub>'', я''</sub>) = ''б''<sub>''я''</sub> за всех ''я''. Полная информация о доказательство и приложения также могут быть найдены в
.<ref /><ref />
== Теорема разложения грушко ==
Полезный следствие изначальной Грушко теорема является так называемая '''теорема Грушко разложения. ''' Он утверждает, что любая нетривиальная конечно порожденная группа ''г'' может быть разложена как [[Свободное произведение|бесплатный продукт]]
: ''G'' = ''A''<sub>1</sub>∗''A''<sub>2</sub>∗...∗''A''<sub>''r''</sub>∗''F''<sub>''s''</sub>, where ''s'' ≥ 0, ''r'' ≥ 0,
где каждая из групп ''а''<sub>''я''</sub> не так тривиально, свободно нераз (то есть, он не может быть разложена в качестве бесплатного продукта), а не бесконечной циклической, и где ''Ф<sub>ы</sub>'' - это [[свободная группа]] ранга ''с'';
кроме того, для данного ''г'', группы ''В''<sub>1</sub>, ..., ''В''<sub>''р''</sub> уникальны до перестановки их [[Класс сопряжённости|сопряженности классов]] в ''г'' (и, в частности, последовательность [[Изоморфизм групп|изоморфизм]] типы из этих групп уникальна до перестановки), а числа ''С'' И ''Р'' являются уникальными, а также.
Точнее, если ''Г'' = ''Б''<sub>1</sub>∗...∗''Б''<sub>''к''</sub>∗''ф''<sub>''т''</sub> другой такой разложение, то ''К'' = ''Р'', ''С'' = ''Т'', и существует перестановка σ∈''S и''<sub>''р''</sub> , таких, что для каждого ''я''=1,...,''р'' подгрупп ''а''<sub>''я''</sub> и ''Б''<sub>σ(''я'')</sub> являются [[Класс сопряжённости|сопряженными]] в ''г''.
Существование указанного выше разложения, назвал '''Грушко разложения''' В ''Г'', это прямое следствие исходной теоремы Грушко, в то время как уникальность утверждение требует дополнительных аргументов (см., например<ref />).
Алгоритмически вычислительной разложение Грушко для конкретных классов групп является сложной проблемой, которая требует в первую очередь будучи в состоянии определить, является ли данная группа является свободно разложимых. Положительные результаты были доступны для некоторых классов групп, таких, как перекрут-свободное [[Гиперболическая группа|слово-гиперболических групп]], отдельных классов относительно гиперболических групп,<ref /> основных групп конечных графов конечно порожденных свободных групп<ref /> и другие.
Грушко разложения теорема теоретико-групповая аналог Кнесер премьер-теорема разложения для 3-многообразий , который говорит, что закрытая 3-коллектор может быть однозначно разложена как [[Связная сумма|связаны сумма]] неприводимых 3-многообразий.<ref />
== См. также ==
* Теория басса-Серра
* [[Порождающее множество группы|Генерации набора группы]]
== Примечания ==
[[Категория:Геометрическая теория групп]]
[[Категория:Маломерная топология]]
[[Категория:Теоремы теории групп]]
https://ift.tt/2NPvsPf
