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波尔文积分

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'''波尔文积分'''（）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的[[积分]]，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文（David Borwein）和共同发表了这个涉及[[sinc函数]]的积分<ref name=":0"></ref>。

常见的例子为：
: <math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx= \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \frac \pi 2
\end{align}
</math>

这种规律一直到
: <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2.</math>
都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：
: <math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx
&= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
&= \frac \pi 2 - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
&\simeq \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}.
\end{align}
</math>

== 参考资料 ==





[[Category:积分]]
[[Category:数学反例]]

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