新規更新February 05, 2020 at 08:54AM
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Fonction continue nulle part
Kermatoni :
En [[mathématiques]], une '''fonction nulle part continue''', également appelée '''fonction discontinue partout''', est une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] qui n'est continue en aucun point de son [[Ensemble de définition|domaine]]. Si ''f'' est une fonction définie sur les [[Nombre réel|nombres réels]] à valeur dans les nombres réels, alors ''f'' est nulle part continue si pour chaque point ''x'' il existe un tel que pour chaque nous pouvons trouver un point ''y'' tel que <math display="inline">0 < | x-y | < \delta</math> et <math display="inline">|f(x)-f(y) | \geqslant \varepsilon</math>. Par conséquent, peu importe à quel point nous nous rapprochons d'un point fixé, il existe des points encore plus proches auxquels la fonction prend des valeurs qui ne sont pas proches.
Des définitions plus générales de ce type de fonction peuvent être obtenues, en remplaçant la [[valeur absolue]] par la fonction distance dans un [[espace métrique]], ou en utilisant la définition de continuité dans un [[espace topologique]] .
== Fonction de Dirichlet ==
Un exemple d'une telle fonction est la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction indicatrice]] des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]], également connue sous le nom de '''fonction de Dirichlet''', du nom du mathématicien allemand [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]<ref></ref>. Cette fonction est notée ''I''<sub>'''Q'''</sub> ou ''1''<sub>'''Q'''</sub> et a un [[ensemble de définition]] et un [[ensemble d'arrivée]] tous deux égaux aux [[Nombre réel|nombres réels]]. ''I''<sub>'''Q'''</sub> ( ''x'' ) est égal à 1 si ''x'' est un [[nombre rationnel]] et 0 si ''x'' n'est pas rationnel. Si nous regardons cette fonction au voisinage d'un certain nombre ''y'', il y a deux cas:
* si ''y'' est rationnel, alors . Pour montrer que la fonction n'est pas continue en ''y'', nous devons trouver un ''ε'' tel que peu importe la taille que nous choisissons pour <math display="inline">\delta</math><math>\delta</math>, il y aura des points ''z'' dans l'intervalle <math>]y-\delta , y+\delta[</math> tels que ''f'' ( ''z'' ) ne soit pas à l'intérieur de <math>]f(y)-1,f(y)+1[</math>. En fait, 1/2 est un tel ''ε'' : en effet, puisque les [[Nombre irrationnel|nombres irrationnels]] sont [[Partie dense|denses]] dans les nombres réels, peu importe ce que nous choisissons comme valeur pour <math display="inline">\delta</math>, nous pouvons toujours trouver un ''z'' irrationnel dans <math>]y-\delta , y+\delta[</math> tel que est au moins éloigné de 1/2 par rapport à 1.
* si ''y'' est irrationnel, alors . Encore une fois, nous pouvons prendre , et cette fois, puisque les nombres rationnels sont denses dans les réels, nous pouvons choisir ''z'' pour être un nombre rationnel aussi proche de ''y'' que nécessaire. Encore une fois, est à plus de 1/2 de .
En termes moins rigoureux, entre deux irrationnels quelconques, il existe toujours un rationnel, et vice versa.
La fonction de Dirichlet peut être construite comme la double limite ponctuelle d'une séquence de fonctions continues, comme suit:
: <math>f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\,\pi\,x)\right)^{2j}\right)</math>.
Cela montre que la fonction Dirichlet est une fonction de [[Fonction de Baire|classe de Baire 2]]. Il ne peut pas s'agir d'une fonction Baire de classe 1, car une telle fonction ne peut être discontinue que sur un [[ensemble maigre]]<ref>Liquid error: wrong number of arguments (given 1, expected 2)</ref>.
En général, si ''E'' est un sous-ensemble d'un [[espace topologique]] ''X'' tel que ''E'' et son complémentaire soient denses dans ''X'', alors la fonction à valeurs réelles qui prend la valeur 1 sur ''E'' et 0 sur le complément de ''E'' ne sera nulle part continue. Les fonctions de ce type ont été initialement étudiées par [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] .
== Caractérisation hyperréelle ==
Une fonction réelle ''f'' est nulle part continue si son extension [[Nombre hyperréel|hyperréelle]] naturelle a la propriété que chaque ''x'' est infiniment proche d'un ''y'' tel que la différence est appréciable (c'est-à-dire non [[Infiniment petit|infinitésimale]] ).
== Voir également ==
* [[Fonction de Thomae|La fonction de Thomae]] (également connue sous le nom de fonction pop-corn) est une fonction qui est continue en tous les nombres irrationnels et discontinue en tous les nombres rationnels.
* [[Fonction de Weierstrass|Fonction Weierstrass]] : une fonction ''continue'' partout (à l'intérieur de son domaine) et ''différentiable'' nulle part.
== Références ==
<references />
== Liens externes ==
* <bdi> </bdi>
* [https://ift.tt/2s6aTXH Fonction Dirichlet — de MathWorld]
* [https://ift.tt/31sNUVi La fonction Dirichlet modifiée] par George Beck.
[[Catégorie:Analyse]]
[[Catégorie:Topologie]]
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