新規更新December 05, 2018 at 04:32PM
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Integral de Borwein
Sabbut: sustituyo sin(x) por sen(x), notación más común en español
En [[matemáticas]], una '''integral de Borwein''' es una [[integral]] con unas propiedades peculiares presentada por primera vez por los matemáticos [[David Borwein]] y [[Jonathan Borwein]] en 2001.<ref name=":0"></ref> Las integrales de Borwein utilizan productos de [[seno cardinal|senos cardinales]] sinc(''ax''), donde la función seno cardinal se define como }} para ''x'' distinto de 0, y 1.}}<ref name=":0" /><ref>Liquid error: wrong number of arguments (1 for 0)</ref>
Estas integrales presentan un aparente esquema regular que acaba rompiéndose de repente. Así,
:<math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x} \, dx= \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3} \, dx = \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\frac{\sen(x/5)}{x/5} \, dx = \frac \pi 2
\end{align}
</math>
Este esquema continúa hasta
:<math>\int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2.</math>
Sin embargo, con el siguiente término, se produce el siguiente resultado:
:<math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/15)}{x/15} \, dx
&= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
&= \frac \pi 2 - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
&\simeq \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}.
\end{align}
</math>
En general, estas integrales tienen por valor |2}} cuando los denominadores son sustituidos por cualesquier [[número real|números reales]] [[número positivo|positivos]] tales que la suma de sus [[inverso multiplicativo|inversos]] es menor que 1.
En el ejemplo anterior, + + … + < 1,}} pero + + … + > 1.}}
Al incluir el término adicional <math>\cos(x)</math>, el esquema se puede prolongar más allá:
:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/111)}{x/111} \, dx = \frac \pi 2,</math>
pero
:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/111)}{x/111}\frac{\sen(x/113)}{x/113} \, dx < \frac \pi 2,</math>
En este caso, + + … + < 2,}} but + + … + > 2.}}
El motivo por el que estos esquemas, tanto el original como el extendido, se acaban rompiendo se ha podido probar mediante una demostración intuitiva.<ref></ref>
== Fórmula general ==
Dada una [[sucesión matemática|sucesión]] de números reales distintos de 0, <math>a_0, a_1, a_2,\ldots</math>, se puede construir una fórmula general para la integral<ref name=":0" />
:<math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sen(a_kx)}{a_kx} \, dx</math>
Para establecer la fórmula, habrá que considerar las sumas a partir de los <math>a_k</math>. En particular, si <math>\gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n)\in\{\pm 1\}^n</math> es una <math>n</math>-upla donde cada uno de los términos es <math>\pm 1</math>, entonces se puede escribir <math>b_{\gamma}=a_0+\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\cdots+\gamma_na_n</math>, que es una especie de suma alterna de los <math>a_k</math>, y se puede establecer <math>\varepsilon_\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n</math>, que puede ser 1 o -1. Con esta notación, el valor de esta integral es
: <math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sen(a_kx)}{a_kx} \, dx = \frac{\pi}{2a_0} C_n </math>
donde
: <math>C_n = \frac 1 {2^nn!\prod_{k=1}^na_k} \sum_{\gamma\in\{\pm 1\}^n} \varepsilon_\gamma b_\gamma^n \sgn(b_\gamma) </math>
En el caso en que <math>a_0 > |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| </math>, se tiene <math>C_n=1 </math>.
Además, si hay un <math>n</math> tal que para cada <math>k=0,\ldots,n-1</math> tenemos <math>0<a_n < 2a_k</math> y <math>a_1+a_2+\cdots+a_{n-1} < a_0 < a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n</math>, que significa que <math>n</math> es el primer valor cuando la suma parcial de los <math>n</math> primeros elementos de la sucesión excede de <math>a_0</math>, entonces <math>C_k=1 </math> para cada <math>k=0,\ldots,n-1</math>, pero
:<math>C_n = 1 - \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n-a_0)^n}{2^{n-1}n! \prod_{k=1}^na_k} </math>
El primer ejemplo es el caso cuando <math>a_k=\frac{1}{2k+1} </math>.
Nótese que, si <math>n=7</math>, entonces <math>a_7=\frac{1}{15}</math> and <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\approx 0.955</math>, pero <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}\approx 1.02</math>, por lo que, como <math>a_0=1 </math>, tenemos que
: <math>\int_0^\infty \frac{\sen(x)} x \frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2 </math>
que se sigue cumpliendo incluso al eliminar cualquiera de los productos, pero
: <math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sen(x)} x \frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/15)}{x/15} \, dx \\[5pt]
= {} & \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{(3^{-1} + 5^{-1} + 7^{-1} + 9^{-1} + 11^{-1} + 13^{-1} + 15^{-1}-1)^7}{2^6\cdot 7! \cdot (1/3 \cdot 1/5 \cdot 1/7 \cdot 1/9 \cdot 1/11 \cdot 1/13 \cdot 1/15)}\right)
\end{align}
</math>
que es igual al valor dado anteriormente.
== Referencias ==
== Enlaces externos ==
*
*
*
[[Category:Integrales]]
Estas integrales presentan un aparente esquema regular que acaba rompiéndose de repente. Así,
:<math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x} \, dx= \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3} \, dx = \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\frac{\sen(x/5)}{x/5} \, dx = \frac \pi 2
\end{align}
</math>
Este esquema continúa hasta
:<math>\int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2.</math>
Sin embargo, con el siguiente término, se produce el siguiente resultado:
:<math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/15)}{x/15} \, dx
&= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
&= \frac \pi 2 - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
&\simeq \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}.
\end{align}
</math>
En general, estas integrales tienen por valor |2}} cuando los denominadores son sustituidos por cualesquier [[número real|números reales]] [[número positivo|positivos]] tales que la suma de sus [[inverso multiplicativo|inversos]] es menor que 1.
En el ejemplo anterior, + + … + < 1,}} pero + + … + > 1.}}
Al incluir el término adicional <math>\cos(x)</math>, el esquema se puede prolongar más allá:
:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/111)}{x/111} \, dx = \frac \pi 2,</math>
pero
:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sen(x)}{x}\frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/111)}{x/111}\frac{\sen(x/113)}{x/113} \, dx < \frac \pi 2,</math>
En este caso, + + … + < 2,}} but + + … + > 2.}}
El motivo por el que estos esquemas, tanto el original como el extendido, se acaban rompiendo se ha podido probar mediante una demostración intuitiva.<ref></ref>
== Fórmula general ==
Dada una [[sucesión matemática|sucesión]] de números reales distintos de 0, <math>a_0, a_1, a_2,\ldots</math>, se puede construir una fórmula general para la integral<ref name=":0" />
:<math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sen(a_kx)}{a_kx} \, dx</math>
Para establecer la fórmula, habrá que considerar las sumas a partir de los <math>a_k</math>. En particular, si <math>\gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n)\in\{\pm 1\}^n</math> es una <math>n</math>-upla donde cada uno de los términos es <math>\pm 1</math>, entonces se puede escribir <math>b_{\gamma}=a_0+\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\cdots+\gamma_na_n</math>, que es una especie de suma alterna de los <math>a_k</math>, y se puede establecer <math>\varepsilon_\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n</math>, que puede ser 1 o -1. Con esta notación, el valor de esta integral es
: <math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sen(a_kx)}{a_kx} \, dx = \frac{\pi}{2a_0} C_n </math>
donde
: <math>C_n = \frac 1 {2^nn!\prod_{k=1}^na_k} \sum_{\gamma\in\{\pm 1\}^n} \varepsilon_\gamma b_\gamma^n \sgn(b_\gamma) </math>
En el caso en que <math>a_0 > |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| </math>, se tiene <math>C_n=1 </math>.
Además, si hay un <math>n</math> tal que para cada <math>k=0,\ldots,n-1</math> tenemos <math>0<a_n < 2a_k</math> y <math>a_1+a_2+\cdots+a_{n-1} < a_0 < a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n</math>, que significa que <math>n</math> es el primer valor cuando la suma parcial de los <math>n</math> primeros elementos de la sucesión excede de <math>a_0</math>, entonces <math>C_k=1 </math> para cada <math>k=0,\ldots,n-1</math>, pero
:<math>C_n = 1 - \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n-a_0)^n}{2^{n-1}n! \prod_{k=1}^na_k} </math>
El primer ejemplo es el caso cuando <math>a_k=\frac{1}{2k+1} </math>.
Nótese que, si <math>n=7</math>, entonces <math>a_7=\frac{1}{15}</math> and <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\approx 0.955</math>, pero <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}\approx 1.02</math>, por lo que, como <math>a_0=1 </math>, tenemos que
: <math>\int_0^\infty \frac{\sen(x)} x \frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2 </math>
que se sigue cumpliendo incluso al eliminar cualquiera de los productos, pero
: <math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sen(x)} x \frac{\sen(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sen(x/15)}{x/15} \, dx \\[5pt]
= {} & \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{(3^{-1} + 5^{-1} + 7^{-1} + 9^{-1} + 11^{-1} + 13^{-1} + 15^{-1}-1)^7}{2^6\cdot 7! \cdot (1/3 \cdot 1/5 \cdot 1/7 \cdot 1/9 \cdot 1/11 \cdot 1/13 \cdot 1/15)}\right)
\end{align}
</math>
que es igual al valor dado anteriormente.
== Referencias ==
== Enlaces externos ==
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