新規更新June 18, 2019 at 03:58AM
【外部リンク】
Movimiento (geometría)
Wiki LIC:
[[File:Glide reflection.svg|right|thumb|400px|[[Reflexión deslizada]], un tipo de movimiento euclídeo]]
En [[geometría]], un '''movimiento''' se define como una [[isometría]] de un [[espacio métrico]], es decir, es una aplicación entre coordenadas que conserva las distancias entre puntos de la posición original en la nueva posición.
Por ejemplo, un [[Plano (geometría)|plano]] que cuenta con la [[distancia euclidiana]] como [[Métrica (matemáticas)|métrica]], es un [[espacio métrico]], en el que cualquier aplicación que asocia figuras originales y sus imágenes mediante una relación de [[Congruencia (geometría)|congruencia]] es un movimiento.<ref>Gunter Ewald (1971) ''Geometry: An Introduction'', p. 179, Belmont: Wadsworth </ref> De forma más general, el término ''movimiento'' es un sinónimo de isometría para [[función sobreyectiva|funciones sobreyectivas]] en geometría métrica,<ref>M.A. Khamsi & W.A. Kirk (2001) ''An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theorems'', p. 15, [[John Wiley & Sons]] </ref> incluyendo la [[geometría elíptica]] y la [[geometría hiperbólica]]. En este último caso, el [[movimiento hiperbólico]] proporcionan un enfoque muy útil para visualizar el concepto.
Los movimientos se pueden dividir en [[movimiento rígido|directos]] e indirectos:
* Los movimientos directos (también denominados propios o rígidos), como la [[Traslación (geometría)|traslación]] y la [[movimiento de rotación|rotación]], conservan la [[Orientación (espacio vectorial)|orientación]] [[Quiralidad (matemáticas)|quiral]] de las [[forma (figura)|figuras]] sobre las que se aplican.
* Los movimientos indirectos o inpropios son aquellos como la [[Reflexión (matemáticas)|reflexión]], la [[reflexión deslizada]] y la [[rotación impropia]], que invierten la [[Orientación (espacio vectorial)|orientation]] de un [[Quiralidad|quiralidad]] de las [[forma (figura)|formas]].
Algunos geómetras definen el movimiento de tal manera que únicamente los movimientos directos son considerados ''movimientos'' propiamente dichos.
==En geometría diferencial==
En [[geometría diferencial]], un [[difeomorfismo]] se denomina movimiento si induce una isometría entre el espacio tangente en un punto de una [[variedad (matemáticas)|variedad]] y el [[espacio tangente]] en la imagen de ese punto.<ref>A.Z. Petrov (1969) ''Einstein Spaces'', p. 60, [[Pergamon Press]]</ref><ref>B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P Novikov (1992) ''Modern Geometry – Methods and Applications'', second edition, p 24, Springer, </ref>
==Grupo de movimientos==
Dada una geometría, el conjunto de movimientos forma una estructura de [[Grupo (matemática)|grupo]] bajo la composición de las aplicaciones que definen movimientos. Este '''grupo de movimientos''' se destaca por sus propiedades. Por ejemplo, el [[grupo euclídeo]] incluye el [[subgrupo normal]] de las [[Traslación (geometría)|traslaciones]]. En el plano, un movimiento euclidiano directo es una traslación o una [[Rotación (matemáticas)|rotación]], mientras que en el [[espacio (física)|espacio]] cada movimiento euclidiano directo puede expresarse como un desplazamiento sobre un [[eje helicoidal]] de acuerdo con el [[Teorema de Chasles (cinemática)|teorema de Chasles]]. Cuando el espacio subyacente es una [[variedad de Riemann]], el grupo de movimientos es un [[grupo de Lie]]. Además, la trayectoria tiene [[curvatura constante]] si y solo si, para cada par de puntos existe un movimiento que lleva un punto al otro de forma que se induce una isometría.<ref>D.V. Alekseevskij, E.B. Vinberg, A.S. Solodonikov (1993) ''Geometry II'', p. 9, Springer, </ref>
La idea de un grupo de movimientos para describir la [[teoría de la relatividad especial]] se desarrolló en el concepto de ''movimientos lorentzianos'', sobre los que se presentaron desarrollos fundamentales para un plano caracterizado por la [[forma cuadrática]] <math>\ x^2 - y^2 \ </math> en el [[American Mathematical Monthly]].<ref>Graciela S. Birman & [[Katsumi Nomizu]] (1984) "Trigonometry in Lorentzian geometry", [[American Mathematical Monthly]] 91(9):543–9, group of motions: p 545</ref>
Los movimientos en el [[espacio-tiempo de Minkowski]] fueron descritos por [[Serguéi Nóvikov (matemático)|Sergei Novikov]] en 2006:<ref>[[Serguéi Nóvikov (matemático)|Sergei Novikov]] & I.A. Taimov (2006) ''Modern Geometric Structures and Fields'', Dmitry Chibisov translator, page 45, [[American Mathematical Society]] </ref>
: El principio físico de la velocidad constante de la luz se expresa mediante el requisito de que el cambio de un [[sistema de referencia inercial]] a otro esté determinado por un movimiento del espacio de Minkowski, es decir, por una transformación
:: <math>\phi : R^{1,3} \mapsto R^{1,3}</math>
: preservando los intervalos espacio-tiempo. Esto significa que
:: <math>\langle \phi(x) - \phi(y),\ \phi(x) - \phi(y) \rangle \ =\ \langle x - y,\ x - y \rangle </math>
: para cada par de puntos ''x'' e ''y'' en R<sup>1,3</sup>.
==Historia==
[[Alhacén]] (965 a 1039) dio una apreciación temprana del papel del movimiento en la geometría. Su trabajo "El espacio y su naturaleza"<ref>''Ibn Al_Haitham: Proceedings of the Celebrations of the 1000th Anniversary'', Hakim Mohammed Said editor, pages 224-7, Hamdard National Foundation, Karachi: The Times Press</ref> utiliza comparaciones de las dimensiones de un cuerpo móvil para cuantificar el vacío del espacio imaginario.
En el siglo XIX, [[Felix Klein]] se convirtió en un defensor de la [[teoría de grupos]] como un medio para clasificar las geometrías de acuerdo con sus "grupos de movimientos". Propuso utilizar el [[grupo de simetría]] en su [[Programa de Erlangen]], una sugerencia que fue ampliamente adoptada. Señaló que cada congruencia euclidiana es una [[transformación afín]], y cada una de estas es una [[homografía (geometría)|homografía]]; por lo tanto, el grupo de proyectividades contiene el grupo de aplicaciones afines, que a su vez contiene el grupo de congruencias euclidianas. El término ''movimiento'', más conciso que ''transformación'', pone más énfasis en los adjetivos: proyectivo, afín o euclidiano. De este modo, el contexto se amplió tanto que "En [[topología]], los movimientos permitidos son deformaciones invertibles continuas, que pueden identificarse con elongamientos elásticos".<ref>Ari Ben-Menahem (2009) ''Historical Encyclopedia of the Natural and Mathematical Sciences'', v. I, p. 1789</ref>
La ciencia de la [[cinemática]] está dedicada a convertir el [[Movimiento (física)|movimiento físico]] en su expresión como transformación matemática. Con frecuencia, la transformación se puede escribir utilizando álgebra vectorial y aplicaciones lineales. Un ejemplo simple es un giro descrito como una multiplicación de [[número complejo|números complejos]]: <math>z \mapsto \omega z \ </math> donde <math>\ \omega = \cos \theta + i \sin \theta, \quad i^2 = -1</math>. La rotación en el [[espacio (física)|espacio]] se puede modelizar mediante el uso de [[Cuaterniones y rotación en el espacio|cuaterniones]], y las [[Transformación de Lorentz|transformación de Lorentz]] del [[espacio-tiempo]] mediante el uso de [[bicuaternión|bicuaterniones]]. A principios del siglo XX, se examinaron los sistemas de [[número hipercomplejo|números hipercomplejos]]. Más tarde, los [[grupo de automorfismo|grupos de automorfismos]] llevaron a grupos excepcionales como el grupo [[G2 (matemáticas)|G2]].
En la década de 1890, los lógicos estaban reduciendo los [[concepto primitivo|conceptos fundamentales]] de la [[geometría sintética]] a un mínimo absoluto. [[Giuseppe Peano]] y [[Mario Pieri]] utilizaron la expresión ''movimiento'' para la congruencia de pares de puntos. [[Alessandro Padoa]] celebró la reducción de nociones primitivas a meramente ''punto'' y ''movimiento'' en su informe al [[International Congress of Philosophy|Congreso de Filosofía Internacional]] de 1900. Fue en este congreso cuando [[Bertrand Russell]] recibió la influencia de la lógica desarrollada en la Europa continental a través de Peano. En su libro [[Principles of Mathematics]] (1903), Russell consideró que ''un movimiento era una isometría euclidiana que conserva la [[Orientación (espacio vectorial)|orientación]]''.<ref>B. Russell (1903) [[Principles of Mathematics]] p 418. See also pp 406, 436</ref>
En 1914, [[D. M. Y. Sommerville]] utilizó la idea de un movimiento geométrico para establecer el concepto de la distancia en geometría hiperbólica cuando escribió "Elementos de la geometría no euclidiana".<ref>D. M. T. Sommerville (1914) [http://bit.ly/2XQ5S1G Elements of Non-Euclidean Geometry], page 179, link from [[Universidad de Míchigan]] Historical Math Collection</ref> Explica:
: Por un movimiento o desplazamiento en el sentido general no se entiende un cambio de posición de un solo punto o de cualquier figura delimitada, sino un desplazamiento de todo el espacio o, si estamos tratando con solo dos dimensiones, de todo el plano. Un movimiento es una transformación que cambia cada punto ''P'' en otro punto ''P' ''de tal manera que las distancias y los ángulos no cambian.
==Axiomas del movimiento==
Laszio Redei da como [[axioma]]s del movimiento:<ref>Liquid error: wrong number of arguments (1 for 2)</ref>
<ol start="1">
<li> Cualquier movimiento es una aplicación uno a uno del espacio R sobre sí mismo, de modo que cada tres puntos en una recta se transformarán en (tres) puntos en una recta.</li>
<li> La aplicación identidad del espacio R es un movimiento.</li>
<li> El producto de dos movimientos es un movimiento.</li>
<li> La aplicación inversa de un movimiento es un movimiento.</li>
<li> Si se tienen dos planos A, A'; dos rectas g, g'; y dos puntos P, P'; de manera que P está en g; g está en A; P' está en g'; y g' está en A'; entonces existe un movimiento que asigna A a A'; g a g'; y P a P'.</li>
<li> Dados un plano A, una recta g, y un punto P; tales que P está en g y g está en A; entonces existen cuatro movimientos que aplican A, g y P sobre sí mismos, respectivamente, y no más de dos de estos movimientos pueden tener cada punto de g como un punto fijo, mientras que hay uno de ellos (es decir, la identidad) para el que se fija cada punto de A.</li>
<li> Sean tres puntos A, B, P en la recta g, de manera que P esté entre A y B. Para cada punto C (distinto de P) entre A y B, hay un punto D entre C y P para el que no existe un movimiento con P como punto fijo que asigne a C un punto que se encuentre entre D y P.</li>
</ol>
Los axiomas 2 a 4 implican que los movimientos forman un [[Grupo (matemática)|grupo]].
El Axioma 5 implica que existe un movimiento que aplica toda recta en otra recta.
==Notas y referencias==
* [[Tristan Needham]] (1997) '' Visual Complex Analysis '', movimiento euclidiano p 34, movimiento directo p 36, movimiento opuesto p 36, movimiento esférico p 279, movimiento hiperbólico p 306, [[Oxford University Press]], .
* [[Miles Reid]] y Balázs Szendröi (2005) '' Geometry and Topology '', [[Cambridge University Press]], , .
==Enlaces externos==
* [http://bit.ly/2IoA1Qq Motion. I.P. Egorov (creador), '' Encyclopedia of Mathematics ''.]
* [http://bit.ly/2XQ5UGQ Grupo de movimientos. I.P. Egorov (creador), '' Encyclopedia of Mathematics ''.]
[[Categoría:Geometría métrica]]
[[Categoría:Geometría diferencial]]
En [[geometría]], un '''movimiento''' se define como una [[isometría]] de un [[espacio métrico]], es decir, es una aplicación entre coordenadas que conserva las distancias entre puntos de la posición original en la nueva posición.
Por ejemplo, un [[Plano (geometría)|plano]] que cuenta con la [[distancia euclidiana]] como [[Métrica (matemáticas)|métrica]], es un [[espacio métrico]], en el que cualquier aplicación que asocia figuras originales y sus imágenes mediante una relación de [[Congruencia (geometría)|congruencia]] es un movimiento.<ref>Gunter Ewald (1971) ''Geometry: An Introduction'', p. 179, Belmont: Wadsworth </ref> De forma más general, el término ''movimiento'' es un sinónimo de isometría para [[función sobreyectiva|funciones sobreyectivas]] en geometría métrica,<ref>M.A. Khamsi & W.A. Kirk (2001) ''An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theorems'', p. 15, [[John Wiley & Sons]] </ref> incluyendo la [[geometría elíptica]] y la [[geometría hiperbólica]]. En este último caso, el [[movimiento hiperbólico]] proporcionan un enfoque muy útil para visualizar el concepto.
Los movimientos se pueden dividir en [[movimiento rígido|directos]] e indirectos:
* Los movimientos directos (también denominados propios o rígidos), como la [[Traslación (geometría)|traslación]] y la [[movimiento de rotación|rotación]], conservan la [[Orientación (espacio vectorial)|orientación]] [[Quiralidad (matemáticas)|quiral]] de las [[forma (figura)|figuras]] sobre las que se aplican.
* Los movimientos indirectos o inpropios son aquellos como la [[Reflexión (matemáticas)|reflexión]], la [[reflexión deslizada]] y la [[rotación impropia]], que invierten la [[Orientación (espacio vectorial)|orientation]] de un [[Quiralidad|quiralidad]] de las [[forma (figura)|formas]].
Algunos geómetras definen el movimiento de tal manera que únicamente los movimientos directos son considerados ''movimientos'' propiamente dichos.
==En geometría diferencial==
En [[geometría diferencial]], un [[difeomorfismo]] se denomina movimiento si induce una isometría entre el espacio tangente en un punto de una [[variedad (matemáticas)|variedad]] y el [[espacio tangente]] en la imagen de ese punto.<ref>A.Z. Petrov (1969) ''Einstein Spaces'', p. 60, [[Pergamon Press]]</ref><ref>B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P Novikov (1992) ''Modern Geometry – Methods and Applications'', second edition, p 24, Springer, </ref>
==Grupo de movimientos==
Dada una geometría, el conjunto de movimientos forma una estructura de [[Grupo (matemática)|grupo]] bajo la composición de las aplicaciones que definen movimientos. Este '''grupo de movimientos''' se destaca por sus propiedades. Por ejemplo, el [[grupo euclídeo]] incluye el [[subgrupo normal]] de las [[Traslación (geometría)|traslaciones]]. En el plano, un movimiento euclidiano directo es una traslación o una [[Rotación (matemáticas)|rotación]], mientras que en el [[espacio (física)|espacio]] cada movimiento euclidiano directo puede expresarse como un desplazamiento sobre un [[eje helicoidal]] de acuerdo con el [[Teorema de Chasles (cinemática)|teorema de Chasles]]. Cuando el espacio subyacente es una [[variedad de Riemann]], el grupo de movimientos es un [[grupo de Lie]]. Además, la trayectoria tiene [[curvatura constante]] si y solo si, para cada par de puntos existe un movimiento que lleva un punto al otro de forma que se induce una isometría.<ref>D.V. Alekseevskij, E.B. Vinberg, A.S. Solodonikov (1993) ''Geometry II'', p. 9, Springer, </ref>
La idea de un grupo de movimientos para describir la [[teoría de la relatividad especial]] se desarrolló en el concepto de ''movimientos lorentzianos'', sobre los que se presentaron desarrollos fundamentales para un plano caracterizado por la [[forma cuadrática]] <math>\ x^2 - y^2 \ </math> en el [[American Mathematical Monthly]].<ref>Graciela S. Birman & [[Katsumi Nomizu]] (1984) "Trigonometry in Lorentzian geometry", [[American Mathematical Monthly]] 91(9):543–9, group of motions: p 545</ref>
Los movimientos en el [[espacio-tiempo de Minkowski]] fueron descritos por [[Serguéi Nóvikov (matemático)|Sergei Novikov]] en 2006:<ref>[[Serguéi Nóvikov (matemático)|Sergei Novikov]] & I.A. Taimov (2006) ''Modern Geometric Structures and Fields'', Dmitry Chibisov translator, page 45, [[American Mathematical Society]] </ref>
: El principio físico de la velocidad constante de la luz se expresa mediante el requisito de que el cambio de un [[sistema de referencia inercial]] a otro esté determinado por un movimiento del espacio de Minkowski, es decir, por una transformación
:: <math>\phi : R^{1,3} \mapsto R^{1,3}</math>
: preservando los intervalos espacio-tiempo. Esto significa que
:: <math>\langle \phi(x) - \phi(y),\ \phi(x) - \phi(y) \rangle \ =\ \langle x - y,\ x - y \rangle </math>
: para cada par de puntos ''x'' e ''y'' en R<sup>1,3</sup>.
==Historia==
[[Alhacén]] (965 a 1039) dio una apreciación temprana del papel del movimiento en la geometría. Su trabajo "El espacio y su naturaleza"<ref>''Ibn Al_Haitham: Proceedings of the Celebrations of the 1000th Anniversary'', Hakim Mohammed Said editor, pages 224-7, Hamdard National Foundation, Karachi: The Times Press</ref> utiliza comparaciones de las dimensiones de un cuerpo móvil para cuantificar el vacío del espacio imaginario.
En el siglo XIX, [[Felix Klein]] se convirtió en un defensor de la [[teoría de grupos]] como un medio para clasificar las geometrías de acuerdo con sus "grupos de movimientos". Propuso utilizar el [[grupo de simetría]] en su [[Programa de Erlangen]], una sugerencia que fue ampliamente adoptada. Señaló que cada congruencia euclidiana es una [[transformación afín]], y cada una de estas es una [[homografía (geometría)|homografía]]; por lo tanto, el grupo de proyectividades contiene el grupo de aplicaciones afines, que a su vez contiene el grupo de congruencias euclidianas. El término ''movimiento'', más conciso que ''transformación'', pone más énfasis en los adjetivos: proyectivo, afín o euclidiano. De este modo, el contexto se amplió tanto que "En [[topología]], los movimientos permitidos son deformaciones invertibles continuas, que pueden identificarse con elongamientos elásticos".<ref>Ari Ben-Menahem (2009) ''Historical Encyclopedia of the Natural and Mathematical Sciences'', v. I, p. 1789</ref>
La ciencia de la [[cinemática]] está dedicada a convertir el [[Movimiento (física)|movimiento físico]] en su expresión como transformación matemática. Con frecuencia, la transformación se puede escribir utilizando álgebra vectorial y aplicaciones lineales. Un ejemplo simple es un giro descrito como una multiplicación de [[número complejo|números complejos]]: <math>z \mapsto \omega z \ </math> donde <math>\ \omega = \cos \theta + i \sin \theta, \quad i^2 = -1</math>. La rotación en el [[espacio (física)|espacio]] se puede modelizar mediante el uso de [[Cuaterniones y rotación en el espacio|cuaterniones]], y las [[Transformación de Lorentz|transformación de Lorentz]] del [[espacio-tiempo]] mediante el uso de [[bicuaternión|bicuaterniones]]. A principios del siglo XX, se examinaron los sistemas de [[número hipercomplejo|números hipercomplejos]]. Más tarde, los [[grupo de automorfismo|grupos de automorfismos]] llevaron a grupos excepcionales como el grupo [[G2 (matemáticas)|G2]].
En la década de 1890, los lógicos estaban reduciendo los [[concepto primitivo|conceptos fundamentales]] de la [[geometría sintética]] a un mínimo absoluto. [[Giuseppe Peano]] y [[Mario Pieri]] utilizaron la expresión ''movimiento'' para la congruencia de pares de puntos. [[Alessandro Padoa]] celebró la reducción de nociones primitivas a meramente ''punto'' y ''movimiento'' en su informe al [[International Congress of Philosophy|Congreso de Filosofía Internacional]] de 1900. Fue en este congreso cuando [[Bertrand Russell]] recibió la influencia de la lógica desarrollada en la Europa continental a través de Peano. En su libro [[Principles of Mathematics]] (1903), Russell consideró que ''un movimiento era una isometría euclidiana que conserva la [[Orientación (espacio vectorial)|orientación]]''.<ref>B. Russell (1903) [[Principles of Mathematics]] p 418. See also pp 406, 436</ref>
En 1914, [[D. M. Y. Sommerville]] utilizó la idea de un movimiento geométrico para establecer el concepto de la distancia en geometría hiperbólica cuando escribió "Elementos de la geometría no euclidiana".<ref>D. M. T. Sommerville (1914) [http://bit.ly/2XQ5S1G Elements of Non-Euclidean Geometry], page 179, link from [[Universidad de Míchigan]] Historical Math Collection</ref> Explica:
: Por un movimiento o desplazamiento en el sentido general no se entiende un cambio de posición de un solo punto o de cualquier figura delimitada, sino un desplazamiento de todo el espacio o, si estamos tratando con solo dos dimensiones, de todo el plano. Un movimiento es una transformación que cambia cada punto ''P'' en otro punto ''P' ''de tal manera que las distancias y los ángulos no cambian.
==Axiomas del movimiento==
Laszio Redei da como [[axioma]]s del movimiento:<ref>Liquid error: wrong number of arguments (1 for 2)</ref>
<ol start="1">
<li> Cualquier movimiento es una aplicación uno a uno del espacio R sobre sí mismo, de modo que cada tres puntos en una recta se transformarán en (tres) puntos en una recta.</li>
<li> La aplicación identidad del espacio R es un movimiento.</li>
<li> El producto de dos movimientos es un movimiento.</li>
<li> La aplicación inversa de un movimiento es un movimiento.</li>
<li> Si se tienen dos planos A, A'; dos rectas g, g'; y dos puntos P, P'; de manera que P está en g; g está en A; P' está en g'; y g' está en A'; entonces existe un movimiento que asigna A a A'; g a g'; y P a P'.</li>
<li> Dados un plano A, una recta g, y un punto P; tales que P está en g y g está en A; entonces existen cuatro movimientos que aplican A, g y P sobre sí mismos, respectivamente, y no más de dos de estos movimientos pueden tener cada punto de g como un punto fijo, mientras que hay uno de ellos (es decir, la identidad) para el que se fija cada punto de A.</li>
<li> Sean tres puntos A, B, P en la recta g, de manera que P esté entre A y B. Para cada punto C (distinto de P) entre A y B, hay un punto D entre C y P para el que no existe un movimiento con P como punto fijo que asigne a C un punto que se encuentre entre D y P.</li>
</ol>
Los axiomas 2 a 4 implican que los movimientos forman un [[Grupo (matemática)|grupo]].
El Axioma 5 implica que existe un movimiento que aplica toda recta en otra recta.
==Notas y referencias==
* [[Tristan Needham]] (1997) '' Visual Complex Analysis '', movimiento euclidiano p 34, movimiento directo p 36, movimiento opuesto p 36, movimiento esférico p 279, movimiento hiperbólico p 306, [[Oxford University Press]], .
* [[Miles Reid]] y Balázs Szendröi (2005) '' Geometry and Topology '', [[Cambridge University Press]], , .
==Enlaces externos==
* [http://bit.ly/2IoA1Qq Motion. I.P. Egorov (creador), '' Encyclopedia of Mathematics ''.]
* [http://bit.ly/2XQ5UGQ Grupo de movimientos. I.P. Egorov (creador), '' Encyclopedia of Mathematics ''.]
[[Categoría:Geometría métrica]]
[[Categoría:Geometría diferencial]]
http://bit.ly/2InmJ6L
