新規更新June 10, 2018 at 07:40AM
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Kynea-Zahl
DJGrandfather: noch ein Typ seltsam benannter Primzahlen
In der [[Zahlentheorie]] ist eine '''Kynea-Zahl''' eine [[ganze Zahl]] der Form <math>(2^n+1)^2-2</math>, oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form <math>2^{2n}+2^{n+1}-1</math>. Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einem Baby, Kynéa R. Griffith, benannt hat.<ref>[https://ift.tt/2xYlQhC Cletus Emmanuel] auf Prime Pages</ref><ref>[https://ift.tt/2l1xcIs Message to Yahoo primenumbers group] von Cletus Emmanuel</ref>
== Beispiele ==
* Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden:
:: 7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … ()
* Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden:
:: 2, 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … ()
: Man nennt sie '''Kynea-[[Primzahl]]en'''.
* Die größte Kynea-Primzahl ist <math>(2^{661478}+1)^2-2</math> und hat <math>398250</math> Stellen.<ref>[https://ift.tt/2xYoZhz (2<sup>661478</sup>+1)<sup>2</sup>-2] auf The Lagest Known Primes!</ref> Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen ''CKSieve'' und ''PrimeFormGW'' gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.<ref name= "Rekorde">[https://ift.tt/2kXD1Xo Carol and Kynea Prime Search] von Mark Rodenkirch</ref>
== Eigenschaften ==
* Jede Kynea-Zahl der Form <math>(2^n+1)^2-2</math> hat eine [[Dualsystem|binäre Darstellung]], welche <math>2n+1</math> Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach <math>n-1</math> Nullen in der Mitte hat und mit weiteren <math>n+1</math> Einsern endet. Mit anderen Worten:
: <math>(2^n+1)^2-2 = 4^n+\sum_{i=0}^{n} 2^i</math>
::'''Beispiel: '''
::: <math>287=(2^4+1)^2-2= \underline{1} \cdot 2^8+\underline{0} \cdot 2^7+\underline{0} \cdot 2^6+\underline{0} \cdot 2^5+\underline{1} \cdot 2^4+\underline{1} \cdot 2^3+\underline{1} \cdot 2^2+\underline{1} \cdot 2^1+\underline{1} \cdot 2^0=100011111_2</math>
* Die Differenz zwischen der <math>n</math>-ten Kynea-Zahl und der <math>n</math>-ten [[Carol-Zahl]] <math>(2^n-1)^2-2</math> beträgt <math>2^{n+2}</math>.
* Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von <math>7</math>.
::'''Beispiel:'''
::: <math>16639=(2^7+1)^2-2</math> ist die sechste Carol-Zahl nach <math>7</math> und tatsächlich ist <math>16639=2377 \cdot 7</math> ein Vielfaches von <math>7</math>.
* Eine Kynea-Zahl <math>(2^n+1)^2-2</math> mit <math>n=3k+1</math> für <math>k>0</math> kann keine Primzahl sein.
:: (folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)
* Eine Kynea-Zahl <math>(2^n+1)^2-2</math> ist die Summe einer <math>n</math>-ten [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] von 4 und der <math>(n+1)</math>-ten [[Mersenne-Zahl]].
== Verallgemeinerungen ==
Eine '''verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b''' ist eine Zahl der Form <math>(b^n+1)^2-2</math> mit <math>n \geq 1</math> und einer [[Potenz (Mathematik)|Basis]] <math>b \geq 2</math>.
=== Eigenschaften ===
* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis <math>b</math> kann nur dann eine Primzahl sein, wenn <math>b</math> eine [[gerade Zahl]] ist.
:: (Wenn <math>b</math> eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz <math>b^n</math> ungerade. Addiert man <math>1</math> dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man <math>2</math> ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)
* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis <math>b</math> ist immer eine [[gerade Zahl]].
* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis <math>b^n</math> ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis <math>b</math>.
* Die kleinsten <math>n \geq 1</math>, sodass <math>((2k)^n+1)^2-2</math> prim ist (Basis <math>b = 2k</math>), sind die folgenden (für <math>k = 1, 2, 3, 4, \ldots, 100</math>):
:: 1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, …
:: '''Beispiel:'''
::: Für <math>k=11</math> kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl <math>n=3</math> entnehmen.
::: Tatsächlich ist <math>((2 \cdot 11)^3+1)^2-2=113401199 \in \mathbb P</math> eine Primzahl.
Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis <math>b</math> entnehmen kann:
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>b</math>
! Form
! Potenzen <math>n \geq 1</math>, sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis <math>b</math>, also der Form <math>(b^n+1)^2-2</math> prim sind
| [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]-Folge
|-
| <math>2</math>
| <math>(2^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, …
| ()
|-
| <math>4</math>
| <math>(4^n-1)^2-2</math>
| 1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, …
|
|-
| <math>6</math>
| <math>(6^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, …
| ()
|-
| <math>8</math>
| <math>(8^n-1)^2-2</math>
| 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, …
|
|-
| <math>10</math>
| <math>(10^n-1)^2-2</math>
| 22, 351, 1061, …
| ()
|-
| <math>12</math>
| <math>(12^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, …
|
|-
| <math>14</math>
| <math>(14^n-1)^2-2</math>
| 1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, …
| ()
|-
| <math>16</math>
| <math>(16^n-1)^2-2</math>
| 2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, …
|
|-
| <math>18</math>
| <math>(18^n-1)^2-2</math>
| 1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, …
|
|-
| <math>20</math>
| <math>(20^n-1)^2-2</math>
| 1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, …
|
|-
| <math>22</math>
| <math>(22^n-1)^2-2</math>
| 3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, …
| ()
|-
| <math>24</math>
| <math>(24^n-1)^2-2</math>
| 24, 321, 971, 984, …
|
|-
| <math>26</math>
| <math>(26^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, …
|
|-
| <math>28</math>
| <math>(28^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, …
|
|-
| <math>30</math>
| <math>(30^n-1)^2-2</math>
| 2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, …
|
|-
| <math>32</math>
| <math>(32^n-1)^2-2</math>
| 1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, …
|
|-
| <math>34</math>
| <math>(34^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, …
|
|-
| <math>36</math>
| <math>(36^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, …
|
|-
| <math>38</math>
| <math>(38^n-1)^2-2</math>
| 6, 279, 3490, …
|
|-
| <math>40</math>
| <math>(40^n-1)^2-2</math>
| 2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, …
|
|-
| <math>42</math>
| <math>(42^n-1)^2-2</math>
| 1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, …
|
|-
| <math>44</math>
| <math>(44^n-1)^2-2</math>
| 3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, …
|
|-
| <math>46</math>
| <math>(46^n-1)^2-2</math>
| 1, 54, 2040, 3063, …
|
|-
| <math>48</math>
| <math>(48^n-1)^2-2</math>
| 1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, …
|
|-
| <math>50</math>
| <math>(50^n-1)^2-2</math>
| 4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, …
|}
Die größte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist <math>(30^{157950}+1)^2-2</math> und hat <math>466623</math> Stellen.<ref>[https://ift.tt/2sUTHST (30<sup>157950</sup>+1)<sup>2</sup>-2] auf The Lagest Known Primes!</ref> Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen ''CKSieve'' und ''PrimeFormGW'' gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.<ref name="Rekorde"/>
== Weitere Verallgemeinerungen ==
Eine positive ganze Zahl der Form <math>(2^n+1)^3-2</math> nennt man '''Big-Ears-Zahl''' (''Big-Ears number'').<ref name="BigEars">[https://ift.tt/2kWCk0m Carol- und Kynea-Primzahlen]</ref>
Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte '''Big-Ears-Primzahlen''', sind die folgenden:
: 3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … ()
== Siehe auch ==
[[Carol-Zahl]]
== Einzelnachweise ==
<references />
== Weblinks ==
*
* [https://ift.tt/2kXD1Xo Carol and Kynea Prime Search] von Mark Rodenkirch
* [https://ift.tt/2kWCk0m Carol- und Kynea-Primzahlen]
[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
== Beispiele ==
* Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden:
:: 7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … ()
* Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden:
:: 2, 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … ()
: Man nennt sie '''Kynea-[[Primzahl]]en'''.
* Die größte Kynea-Primzahl ist <math>(2^{661478}+1)^2-2</math> und hat <math>398250</math> Stellen.<ref>[https://ift.tt/2xYoZhz (2<sup>661478</sup>+1)<sup>2</sup>-2] auf The Lagest Known Primes!</ref> Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen ''CKSieve'' und ''PrimeFormGW'' gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.<ref name= "Rekorde">[https://ift.tt/2kXD1Xo Carol and Kynea Prime Search] von Mark Rodenkirch</ref>
== Eigenschaften ==
* Jede Kynea-Zahl der Form <math>(2^n+1)^2-2</math> hat eine [[Dualsystem|binäre Darstellung]], welche <math>2n+1</math> Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach <math>n-1</math> Nullen in der Mitte hat und mit weiteren <math>n+1</math> Einsern endet. Mit anderen Worten:
: <math>(2^n+1)^2-2 = 4^n+\sum_{i=0}^{n} 2^i</math>
::'''Beispiel: '''
::: <math>287=(2^4+1)^2-2= \underline{1} \cdot 2^8+\underline{0} \cdot 2^7+\underline{0} \cdot 2^6+\underline{0} \cdot 2^5+\underline{1} \cdot 2^4+\underline{1} \cdot 2^3+\underline{1} \cdot 2^2+\underline{1} \cdot 2^1+\underline{1} \cdot 2^0=100011111_2</math>
* Die Differenz zwischen der <math>n</math>-ten Kynea-Zahl und der <math>n</math>-ten [[Carol-Zahl]] <math>(2^n-1)^2-2</math> beträgt <math>2^{n+2}</math>.
* Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von <math>7</math>.
::'''Beispiel:'''
::: <math>16639=(2^7+1)^2-2</math> ist die sechste Carol-Zahl nach <math>7</math> und tatsächlich ist <math>16639=2377 \cdot 7</math> ein Vielfaches von <math>7</math>.
* Eine Kynea-Zahl <math>(2^n+1)^2-2</math> mit <math>n=3k+1</math> für <math>k>0</math> kann keine Primzahl sein.
:: (folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)
* Eine Kynea-Zahl <math>(2^n+1)^2-2</math> ist die Summe einer <math>n</math>-ten [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] von 4 und der <math>(n+1)</math>-ten [[Mersenne-Zahl]].
== Verallgemeinerungen ==
Eine '''verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b''' ist eine Zahl der Form <math>(b^n+1)^2-2</math> mit <math>n \geq 1</math> und einer [[Potenz (Mathematik)|Basis]] <math>b \geq 2</math>.
=== Eigenschaften ===
* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis <math>b</math> kann nur dann eine Primzahl sein, wenn <math>b</math> eine [[gerade Zahl]] ist.
:: (Wenn <math>b</math> eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz <math>b^n</math> ungerade. Addiert man <math>1</math> dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man <math>2</math> ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)
* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis <math>b</math> ist immer eine [[gerade Zahl]].
* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis <math>b^n</math> ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis <math>b</math>.
* Die kleinsten <math>n \geq 1</math>, sodass <math>((2k)^n+1)^2-2</math> prim ist (Basis <math>b = 2k</math>), sind die folgenden (für <math>k = 1, 2, 3, 4, \ldots, 100</math>):
:: 1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, …
:: '''Beispiel:'''
::: Für <math>k=11</math> kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl <math>n=3</math> entnehmen.
::: Tatsächlich ist <math>((2 \cdot 11)^3+1)^2-2=113401199 \in \mathbb P</math> eine Primzahl.
Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis <math>b</math> entnehmen kann:
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>b</math>
! Form
! Potenzen <math>n \geq 1</math>, sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis <math>b</math>, also der Form <math>(b^n+1)^2-2</math> prim sind
| [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]-Folge
|-
| <math>2</math>
| <math>(2^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, …
| ()
|-
| <math>4</math>
| <math>(4^n-1)^2-2</math>
| 1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, …
|
|-
| <math>6</math>
| <math>(6^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, …
| ()
|-
| <math>8</math>
| <math>(8^n-1)^2-2</math>
| 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, …
|
|-
| <math>10</math>
| <math>(10^n-1)^2-2</math>
| 22, 351, 1061, …
| ()
|-
| <math>12</math>
| <math>(12^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, …
|
|-
| <math>14</math>
| <math>(14^n-1)^2-2</math>
| 1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, …
| ()
|-
| <math>16</math>
| <math>(16^n-1)^2-2</math>
| 2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, …
|
|-
| <math>18</math>
| <math>(18^n-1)^2-2</math>
| 1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, …
|
|-
| <math>20</math>
| <math>(20^n-1)^2-2</math>
| 1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, …
|
|-
| <math>22</math>
| <math>(22^n-1)^2-2</math>
| 3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, …
| ()
|-
| <math>24</math>
| <math>(24^n-1)^2-2</math>
| 24, 321, 971, 984, …
|
|-
| <math>26</math>
| <math>(26^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, …
|
|-
| <math>28</math>
| <math>(28^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, …
|
|-
| <math>30</math>
| <math>(30^n-1)^2-2</math>
| 2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, …
|
|-
| <math>32</math>
| <math>(32^n-1)^2-2</math>
| 1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, …
|
|-
| <math>34</math>
| <math>(34^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, …
|
|-
| <math>36</math>
| <math>(36^n-1)^2-2</math>
| 1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, …
|
|-
| <math>38</math>
| <math>(38^n-1)^2-2</math>
| 6, 279, 3490, …
|
|-
| <math>40</math>
| <math>(40^n-1)^2-2</math>
| 2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, …
|
|-
| <math>42</math>
| <math>(42^n-1)^2-2</math>
| 1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, …
|
|-
| <math>44</math>
| <math>(44^n-1)^2-2</math>
| 3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, …
|
|-
| <math>46</math>
| <math>(46^n-1)^2-2</math>
| 1, 54, 2040, 3063, …
|
|-
| <math>48</math>
| <math>(48^n-1)^2-2</math>
| 1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, …
|
|-
| <math>50</math>
| <math>(50^n-1)^2-2</math>
| 4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, …
|}
Die größte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist <math>(30^{157950}+1)^2-2</math> und hat <math>466623</math> Stellen.<ref>[https://ift.tt/2sUTHST (30<sup>157950</sup>+1)<sup>2</sup>-2] auf The Lagest Known Primes!</ref> Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen ''CKSieve'' und ''PrimeFormGW'' gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.<ref name="Rekorde"/>
== Weitere Verallgemeinerungen ==
Eine positive ganze Zahl der Form <math>(2^n+1)^3-2</math> nennt man '''Big-Ears-Zahl''' (''Big-Ears number'').<ref name="BigEars">[https://ift.tt/2kWCk0m Carol- und Kynea-Primzahlen]</ref>
Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte '''Big-Ears-Primzahlen''', sind die folgenden:
: 3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … ()
== Siehe auch ==
[[Carol-Zahl]]
== Einzelnachweise ==
<references />
== Weblinks ==
*
* [https://ift.tt/2kXD1Xo Carol and Kynea Prime Search] von Mark Rodenkirch
* [https://ift.tt/2kWCk0m Carol- und Kynea-Primzahlen]
[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
https://ift.tt/2JMlkI6
